Aufgaben für die Mittelstufe
( ---> Oberstufe )
Aufgabe 1. [3 P.]
Gib alle reellen Zahlen x an, die der Gleichung
(x + 1)21 + (x + 1)20(x - 1) + (x + 1)19(x - 1)2 + ... + (x - 1)21 = 0
genügen.
Aufgabe 2: [3 P.]
Die Basen eines Trapezes haben ganzzahlige Längen. Beweise, dass man das Trapez in lauter kongruente Dreiecke zerlegen kann.
Aufgabe 3: [6 P.]
Auf einer Kreisscheibe werde ein Punkt A fest gewählt. Finde den geometrischen Ort aller Punkte C, wenn ABCD ein Rechteck bildet, dessen Ecken B und D auf dem Rand der Kreisscheibe liegen.
Aufgabe 4: [7 P.]
Die beiden Straßenräuber Hotz und Plotz verteilen ihre Beute, die aus einem Haufen aus 100 Münzen besteht, folgendermaßen: Hotz ergreift eine Hand voll Münzen von dem Stapel, dann entscheidet Plotz, wer diese Hand voll Münzen bekommt. Dies geht so lange, bis einer der beiden 9 Hände voll Münzen bekommen hat. Dann erhält der andere die eventuell noch übrigen Münzen. (Es kann vorkommen, dass alle Münzen verteilt sind, bevor einer 9 Hände voll Münzen zugeteilt bekommen hat.) Jedes Mal kann Hotz so viel Münzen ergreifen, wie er will
Welches ist die größte Anzahl von Münzen, die Hotz mit Sicherheit erhalten kann, unabhängig von den Entscheidungen seines Kumpels Plotz? (Bestimme diese Zahl, begründe schlüssig, wieso Hotz sicher sein kann, diese Anzahl an Münzen zu erhalten, und zeige, dass er sich einen größeren Anteil nicht sichern kann.
Aufgabe 5: [7 P.]
Wie viele Läufer kann man maximal auf einem 5 x 5-Schachbrett so platzieren, dass jeder Läufer genau zwei andere bedroht? (Gib eine derartige Position an und zeige, dass jede Position aus mehr Läufern die Bedingung der Aufgabe verletzt.)
Aufgabe 6: [10 P .]
In einem Schachturnier spielt jeder Teilnehmer gegen jeden anderen genau einmal. Bei einem Sieg erhält der Gewinner einen Punkt, bei einem Patt bekommt jeder einen halben Punkt gutgeschrieben. Der Verlierer bekommt keinen Punkt. Eine Partie heißt toll, falls ein Spieler mit einem niedrigeren Abschlusspunktestand gegen einen Spieler mit einem höheren Punktestand gewonnen hat. Zeige, dass der Anteil der tollen an allen Partien stets unter 3/4 liegt.
An Hilfsmittel sind nur das ausgegebene Papier, Schreibgerät, Lineal
und Zirkel zugelassen. Auf jedem Blatt sind der Name, Vorname und die Nummer
der Aufgabe einzutragen. Gewertet werden höchstens drei Aufgaben.
Zeit: 4,5 Stunden.